KILLED



    


Runtime Complexity (full) proof of /tmp/tmpe94G13/MYNAT_complete_GM.xml









The Runtime Complexity (full) of the given CpxTRS could be proven to be BOUNDS(2^n, INF).

0 CpxTRS


↳1 DecreasingLoopProof (⇔, 2652 ms)


↳2 BOUNDS(2^n, INF)


↳3 RenamingProof (⇔, 0 ms)


↳4 CpxRelTRS


    ↳5 TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID), 0 ms)


    ↳6 typed CpxTrs


    ↳7 OrderProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)


    ↳8 typed CpxTrs


    ↳9 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 125 ms)


    ↳10 typed CpxTrs


    ↳11 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 0 ms)


    ↳12 typed CpxTrs


    ↳13 NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID), 24 ms)


    ↳14 typed CpxTrs









(0) Obligation:
Runtime Complexity TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)

a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))

a__U13(tt) → tt

a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))

a__U22(tt) → tt

a__U31(tt, V1, V2) → a__U32(a__isNat(V1), V2)

a__U32(tt, V2) → a__U33(a__isNat(V2))

a__U33(tt) → tt

a__U41(tt, N) → mark(N)

a__U51(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))

a__U61(tt) → 0

a__U71(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))

a__and(tt, X) → mark(X)

a__isNat(0) → tt

a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)

a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)

a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)

a__isNatKind(0) → tt

a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))

a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)

a__isNatKind(x(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))

a__plus(N, 0) → a__U41(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)

a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)

a__x(N, 0) → a__U61(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)))

a__x(N, s(M)) → a__U71(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)

mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)

mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)

mark(isNat(X)) → a__isNat(X)

mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))

mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)

mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))

mark(U31(X1, X2, X3)) → a__U31(mark(X1), X2, X3)

mark(U32(X1, X2)) → a__U32(mark(X1), X2)

mark(U33(X)) → a__U33(mark(X))

mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)

mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)

mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))

mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))

mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)

mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))

mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)

mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)

mark(tt) → tt

mark(s(X)) → s(mark(X))

mark(0) → 0

a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)

a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)

a__isNat(X) → isNat(X)

a__U13(X) → U13(X)

a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)

a__U22(X) → U22(X)

a__U31(X1, X2, X3) → U31(X1, X2, X3)

a__U32(X1, X2) → U32(X1, X2)

a__U33(X) → U33(X)

a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)

a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)

a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)

a__U61(X) → U61(X)

a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)

a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

a__and(X1, X2) → and(X1, X2)

a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Rewrite Strategy: FULL




(1) DecreasingLoopProof (EQUIVALENT transformation)
The following loop(s) give(s) rise to the lower bound Ω(2n):
The rewrite sequence
mark(plus(X1, s(X594142_4))) →+ a__U51(a__and(a__and(a__isNat(mark(X594142_4)), isNatKind(mark(X594142_4))), and(isNat(mark(X1)), isNatKind(mark(X1)))), mark(X594142_4), mark(X1))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,0,0].
The pumping substitution is [X594142_4 / plus(X1, s(X594142_4))].
The result substitution is [ ].

The rewrite sequence
mark(plus(X1, s(X594142_4))) →+ a__U51(a__and(a__and(a__isNat(mark(X594142_4)), isNatKind(mark(X594142_4))), and(isNat(mark(X1)), isNatKind(mark(X1)))), mark(X594142_4), mark(X1))
gives rise to a decreasing loop by considering the right hand sides subterm at position [0,0,1,0].
The pumping substitution is [X594142_4 / plus(X1, s(X594142_4))].
The result substitution is [ ].





(2) BOUNDS(2^n, INF)




(3) RenamingProof (EQUIVALENT transformation)
Renamed function symbols to avoid clashes with predefined symbol.




(4) Obligation:
Runtime Complexity Relative TRS:
The TRS R consists of the following rules:

a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)

a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))

a__U13(tt) → tt

a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))

a__U22(tt) → tt

a__U31(tt, V1, V2) → a__U32(a__isNat(V1), V2)

a__U32(tt, V2) → a__U33(a__isNat(V2))

a__U33(tt) → tt

a__U41(tt, N) → mark(N)

a__U51(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))

a__U61(tt) → 0'

a__U71(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))

a__and(tt, X) → mark(X)

a__isNat(0') → tt

a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)

a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)

a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)

a__isNatKind(0') → tt

a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))

a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)

a__isNatKind(x(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))

a__plus(N, 0') → a__U41(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)

a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)

a__x(N, 0') → a__U61(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)))

a__x(N, s(M)) → a__U71(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)

mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)

mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)

mark(isNat(X)) → a__isNat(X)

mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))

mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)

mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))

mark(U31(X1, X2, X3)) → a__U31(mark(X1), X2, X3)

mark(U32(X1, X2)) → a__U32(mark(X1), X2)

mark(U33(X)) → a__U33(mark(X))

mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)

mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)

mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))

mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))

mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)

mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))

mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)

mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)

mark(tt) → tt

mark(s(X)) → s(mark(X))

mark(0') → 0'

a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)

a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)

a__isNat(X) → isNat(X)

a__U13(X) → U13(X)

a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)

a__U22(X) → U22(X)

a__U31(X1, X2, X3) → U31(X1, X2, X3)

a__U32(X1, X2) → U32(X1, X2)

a__U33(X) → U33(X)

a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)

a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)

a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)

a__U61(X) → U61(X)

a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)

a__x(X1, X2) → x(X1, X2)

a__and(X1, X2) → and(X1, X2)

a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

S is empty.
Rewrite Strategy: FULL




(5) TypeInferenceProof (BOTH BOUNDS(ID, ID) transformation)
Infered types.




(6) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, V1, V2) → a__U32(a__isNat(V1), V2)
a__U32(tt, V2) → a__U33(a__isNat(V2))
a__U33(tt) → tt
a__U41(tt, N) → mark(N)
a__U51(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U61(tt) → 0'
a__U71(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__isNatKind(x(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__plus(N, 0') → a__U41(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
a__x(N, 0') → a__U61(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)))
a__x(N, s(M)) → a__U71(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3)) → a__U31(mark(X1), X2, X3)
mark(U32(X1, X2)) → a__U32(mark(X1), X2)
mark(U33(X)) → a__U33(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))
mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2, X3) → U31(X1, X2, X3)
a__U32(X1, X2) → U32(X1, X2)
a__U33(X) → U33(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U61(X) → U61(X)
a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U711_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71




(7) OrderProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Heuristically decided to analyse the following defined symbols:
a__U11, a__U12, a__isNat, a__U21, a__U31, a__U32, a__U41, mark, a__U51, a__plus, a__U71, a__x, a__and, a__isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__U32
a__U11 = a__U41
a__U11 = mark
a__U11 = a__U51
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U71
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = a__U32
a__U12 = a__U41
a__U12 = mark
a__U12 = a__U51
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__U71
a__U12 = a__x
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = a__U32
a__isNat = a__U41
a__isNat = mark
a__isNat = a__U51
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__U71
a__isNat = a__x
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = a__U32
a__U21 = a__U41
a__U21 = mark
a__U21 = a__U51
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U71
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = a__U32
a__U31 = a__U41
a__U31 = mark
a__U31 = a__U51
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__U71
a__U31 = a__x
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
a__U32 = a__U41
a__U32 = mark
a__U32 = a__U51
a__U32 = a__plus
a__U32 = a__U71
a__U32 = a__x
a__U32 = a__and
a__U32 = a__isNatKind
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
mark = a__U51
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__x
a__U51 = a__and
a__U51 = a__isNatKind
a__plus = a__U71
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__U71 = a__x
a__U71 = a__and
a__U71 = a__isNatKind
a__x = a__and
a__x = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind




(8) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, V1, V2) → a__U32(a__isNat(V1), V2)
a__U32(tt, V2) → a__U33(a__isNat(V2))
a__U33(tt) → tt
a__U41(tt, N) → mark(N)
a__U51(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U61(tt) → 0'
a__U71(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__isNatKind(x(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__plus(N, 0') → a__U41(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
a__x(N, 0') → a__U61(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)))
a__x(N, s(M)) → a__U71(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3)) → a__U31(mark(X1), X2, X3)
mark(U32(X1, X2)) → a__U32(mark(X1), X2)
mark(U33(X)) → a__U33(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))
mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2, X3) → U31(X1, X2, X3)
a__U32(X1, X2) → U32(X1, X2)
a__U33(X) → U33(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U61(X) → U61(X)
a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U711_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U12, a__U11, a__isNat, a__U21, a__U31, a__U32, a__U41, mark, a__U51, a__plus, a__U71, a__x, a__and, a__isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__U32
a__U11 = a__U41
a__U11 = mark
a__U11 = a__U51
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U71
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = a__U32
a__U12 = a__U41
a__U12 = mark
a__U12 = a__U51
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__U71
a__U12 = a__x
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = a__U32
a__isNat = a__U41
a__isNat = mark
a__isNat = a__U51
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__U71
a__isNat = a__x
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = a__U32
a__U21 = a__U41
a__U21 = mark
a__U21 = a__U51
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U71
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = a__U32
a__U31 = a__U41
a__U31 = mark
a__U31 = a__U51
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__U71
a__U31 = a__x
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
a__U32 = a__U41
a__U32 = mark
a__U32 = a__U51
a__U32 = a__plus
a__U32 = a__U71
a__U32 = a__x
a__U32 = a__and
a__U32 = a__isNatKind
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
mark = a__U51
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__x
a__U51 = a__and
a__U51 = a__isNatKind
a__plus = a__U71
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__U71 = a__x
a__U71 = a__and
a__U71 = a__isNatKind
a__x = a__and
a__x = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind




(9) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U12.




(10) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, V1, V2) → a__U32(a__isNat(V1), V2)
a__U32(tt, V2) → a__U33(a__isNat(V2))
a__U33(tt) → tt
a__U41(tt, N) → mark(N)
a__U51(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U61(tt) → 0'
a__U71(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__isNatKind(x(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__plus(N, 0') → a__U41(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
a__x(N, 0') → a__U61(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)))
a__x(N, s(M)) → a__U71(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3)) → a__U31(mark(X1), X2, X3)
mark(U32(X1, X2)) → a__U32(mark(X1), X2)
mark(U33(X)) → a__U33(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))
mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2, X3) → U31(X1, X2, X3)
a__U32(X1, X2) → U32(X1, X2)
a__U33(X) → U33(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U61(X) → U61(X)
a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U711_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__isNat, a__U11, a__U21, a__U31, a__U32, a__U41, mark, a__U51, a__plus, a__U71, a__x, a__and, a__isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__U32
a__U11 = a__U41
a__U11 = mark
a__U11 = a__U51
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U71
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = a__U32
a__U12 = a__U41
a__U12 = mark
a__U12 = a__U51
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__U71
a__U12 = a__x
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = a__U32
a__isNat = a__U41
a__isNat = mark
a__isNat = a__U51
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__U71
a__isNat = a__x
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = a__U32
a__U21 = a__U41
a__U21 = mark
a__U21 = a__U51
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U71
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = a__U32
a__U31 = a__U41
a__U31 = mark
a__U31 = a__U51
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__U71
a__U31 = a__x
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
a__U32 = a__U41
a__U32 = mark
a__U32 = a__U51
a__U32 = a__plus
a__U32 = a__U71
a__U32 = a__x
a__U32 = a__and
a__U32 = a__isNatKind
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
mark = a__U51
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__x
a__U51 = a__and
a__U51 = a__isNatKind
a__plus = a__U71
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__U71 = a__x
a__U71 = a__and
a__U71 = a__isNatKind
a__x = a__and
a__x = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind




(11) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__isNat.




(12) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, V1, V2) → a__U32(a__isNat(V1), V2)
a__U32(tt, V2) → a__U33(a__isNat(V2))
a__U33(tt) → tt
a__U41(tt, N) → mark(N)
a__U51(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U61(tt) → 0'
a__U71(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__isNatKind(x(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__plus(N, 0') → a__U41(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
a__x(N, 0') → a__U61(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)))
a__x(N, s(M)) → a__U71(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3)) → a__U31(mark(X1), X2, X3)
mark(U32(X1, X2)) → a__U32(mark(X1), X2)
mark(U33(X)) → a__U33(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))
mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2, X3) → U31(X1, X2, X3)
a__U32(X1, X2) → U32(X1, X2)
a__U33(X) → U33(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U61(X) → U61(X)
a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U711_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__U11, a__U21, a__U31, a__U32, a__U41, mark, a__U51, a__plus, a__U71, a__x, a__and, a__isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__U32
a__U11 = a__U41
a__U11 = mark
a__U11 = a__U51
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U71
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = a__U32
a__U12 = a__U41
a__U12 = mark
a__U12 = a__U51
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__U71
a__U12 = a__x
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = a__U32
a__isNat = a__U41
a__isNat = mark
a__isNat = a__U51
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__U71
a__isNat = a__x
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = a__U32
a__U21 = a__U41
a__U21 = mark
a__U21 = a__U51
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U71
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = a__U32
a__U31 = a__U41
a__U31 = mark
a__U31 = a__U51
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__U71
a__U31 = a__x
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
a__U32 = a__U41
a__U32 = mark
a__U32 = a__U51
a__U32 = a__plus
a__U32 = a__U71
a__U32 = a__x
a__U32 = a__and
a__U32 = a__isNatKind
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
mark = a__U51
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__x
a__U51 = a__and
a__U51 = a__isNatKind
a__plus = a__U71
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__U71 = a__x
a__U71 = a__and
a__U71 = a__isNatKind
a__x = a__and
a__x = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind




(13) NoRewriteLemmaProof (LOWER BOUND(ID) transformation)
Could not prove a rewrite lemma for the defined symbol a__U11.




(14) Obligation:
TRS:
Rules:
a__U11(tt, V1, V2) → a__U12(a__isNat(V1), V2)
a__U12(tt, V2) → a__U13(a__isNat(V2))
a__U13(tt) → tt
a__U21(tt, V1) → a__U22(a__isNat(V1))
a__U22(tt) → tt
a__U31(tt, V1, V2) → a__U32(a__isNat(V1), V2)
a__U32(tt, V2) → a__U33(a__isNat(V2))
a__U33(tt) → tt
a__U41(tt, N) → mark(N)
a__U51(tt, M, N) → s(a__plus(mark(N), mark(M)))
a__U61(tt) → 0'
a__U71(tt, M, N) → a__plus(a__x(mark(N), mark(M)), mark(N))
a__and(tt, X) → mark(X)
a__isNat(0') → tt
a__isNat(plus(V1, V2)) → a__U11(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNat(s(V1)) → a__U21(a__isNatKind(V1), V1)
a__isNat(x(V1, V2)) → a__U31(a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2)), V1, V2)
a__isNatKind(0') → tt
a__isNatKind(plus(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__isNatKind(s(V1)) → a__isNatKind(V1)
a__isNatKind(x(V1, V2)) → a__and(a__isNatKind(V1), isNatKind(V2))
a__plus(N, 0') → a__U41(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)), N)
a__plus(N, s(M)) → a__U51(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
a__x(N, 0') → a__U61(a__and(a__isNat(N), isNatKind(N)))
a__x(N, s(M)) → a__U71(a__and(a__and(a__isNat(M), isNatKind(M)), and(isNat(N), isNatKind(N))), M, N)
mark(U11(X1, X2, X3)) → a__U11(mark(X1), X2, X3)
mark(U12(X1, X2)) → a__U12(mark(X1), X2)
mark(isNat(X)) → a__isNat(X)
mark(U13(X)) → a__U13(mark(X))
mark(U21(X1, X2)) → a__U21(mark(X1), X2)
mark(U22(X)) → a__U22(mark(X))
mark(U31(X1, X2, X3)) → a__U31(mark(X1), X2, X3)
mark(U32(X1, X2)) → a__U32(mark(X1), X2)
mark(U33(X)) → a__U33(mark(X))
mark(U41(X1, X2)) → a__U41(mark(X1), X2)
mark(U51(X1, X2, X3)) → a__U51(mark(X1), X2, X3)
mark(plus(X1, X2)) → a__plus(mark(X1), mark(X2))
mark(U61(X)) → a__U61(mark(X))
mark(U71(X1, X2, X3)) → a__U71(mark(X1), X2, X3)
mark(x(X1, X2)) → a__x(mark(X1), mark(X2))
mark(and(X1, X2)) → a__and(mark(X1), X2)
mark(isNatKind(X)) → a__isNatKind(X)
mark(tt) → tt
mark(s(X)) → s(mark(X))
mark(0') → 0'
a__U11(X1, X2, X3) → U11(X1, X2, X3)
a__U12(X1, X2) → U12(X1, X2)
a__isNat(X) → isNat(X)
a__U13(X) → U13(X)
a__U21(X1, X2) → U21(X1, X2)
a__U22(X) → U22(X)
a__U31(X1, X2, X3) → U31(X1, X2, X3)
a__U32(X1, X2) → U32(X1, X2)
a__U33(X) → U33(X)
a__U41(X1, X2) → U41(X1, X2)
a__U51(X1, X2, X3) → U51(X1, X2, X3)
a__plus(X1, X2) → plus(X1, X2)
a__U61(X) → U61(X)
a__U71(X1, X2, X3) → U71(X1, X2, X3)
a__x(X1, X2) → x(X1, X2)
a__and(X1, X2) → and(X1, X2)
a__isNatKind(X) → isNatKind(X)

Types:
a__U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
tt :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
mark :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
s :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
0' :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
plus :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
a__isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNatKind :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
x :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
and :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
isNat :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U11 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U12 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U13 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U21 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U22 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U31 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U32 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U33 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U41 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U51 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U61 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
U71 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71 → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
hole_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U711_0 :: tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0 :: Nat → tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U71
Generator Equations:
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(0) ⇔ tt
gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(+(x, 1)) ⇔ s(gen_tt:s:0':plus:isNatKind:x:isNat:and:U11:U12:U13:U21:U22:U31:U32:U33:U41:U51:U61:U712_0(x))
The following defined symbols remain to be analysed:
a__and, a__U21, a__U31, a__U32, a__U41, mark, a__U51, a__plus, a__U71, a__x, a__isNatKind
They will be analysed ascendingly in the following order:
a__U11 = a__U12
a__U11 = a__isNat
a__U11 = a__U21
a__U11 = a__U31
a__U11 = a__U32
a__U11 = a__U41
a__U11 = mark
a__U11 = a__U51
a__U11 = a__plus
a__U11 = a__U71
a__U11 = a__x
a__U11 = a__and
a__U11 = a__isNatKind
a__U12 = a__isNat
a__U12 = a__U21
a__U12 = a__U31
a__U12 = a__U32
a__U12 = a__U41
a__U12 = mark
a__U12 = a__U51
a__U12 = a__plus
a__U12 = a__U71
a__U12 = a__x
a__U12 = a__and
a__U12 = a__isNatKind
a__isNat = a__U21
a__isNat = a__U31
a__isNat = a__U32
a__isNat = a__U41
a__isNat = mark
a__isNat = a__U51
a__isNat = a__plus
a__isNat = a__U71
a__isNat = a__x
a__isNat = a__and
a__isNat = a__isNatKind
a__U21 = a__U31
a__U21 = a__U32
a__U21 = a__U41
a__U21 = mark
a__U21 = a__U51
a__U21 = a__plus
a__U21 = a__U71
a__U21 = a__x
a__U21 = a__and
a__U21 = a__isNatKind
a__U31 = a__U32
a__U31 = a__U41
a__U31 = mark
a__U31 = a__U51
a__U31 = a__plus
a__U31 = a__U71
a__U31 = a__x
a__U31 = a__and
a__U31 = a__isNatKind
a__U32 = a__U41
a__U32 = mark
a__U32 = a__U51
a__U32 = a__plus
a__U32 = a__U71
a__U32 = a__x
a__U32 = a__and
a__U32 = a__isNatKind
a__U41 = mark
a__U41 = a__U51
a__U41 = a__plus
a__U41 = a__U71
a__U41 = a__x
a__U41 = a__and
a__U41 = a__isNatKind
mark = a__U51
mark = a__plus
mark = a__U71
mark = a__x
mark = a__and
mark = a__isNatKind
a__U51 = a__plus
a__U51 = a__U71
a__U51 = a__x
a__U51 = a__and
a__U51 = a__isNatKind
a__plus = a__U71
a__plus = a__x
a__plus = a__and
a__plus = a__isNatKind
a__U71 = a__x
a__U71 = a__and
a__U71 = a__isNatKind
a__x = a__and
a__x = a__isNatKind
a__and = a__isNatKind